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在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数之和. (1...

在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数之和.
(1)试用组合数表示这个一般规律;
(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和;
(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数,使它们的比是3:4:5,并证明你的结论.
第0行 1
第1行  1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1.
(1)从杨辉三角形中的数字看出,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数之和,符合组合数的第二条性质; (2)杨辉三角中第n行的所有数是二项展开式的所有二项式系数的和,取x=1可得第n行的所有数字和为2n,然后利用等比数列求和; (3)假设在杨辉三角形的某一行能出现三个连续的数,使它们的比是3:4:5,由此列两个关于n和r的方程组,能够解出对应的n和r的值,说明假设成立. 【解析】 (1)设表中任一不为1的数为,它肩上的两个数分别为,则有; (2)杨辉三角中第n行的所有数可以看做是二项展开式的所有二项式系数的和,取x=1可得第n行的所有数字和为2n,所以数表中第n行(含第n行)之前所有数之和为1+2+22+…+2n ==2n+1-1; (3)设, 由,得,即3n-7r+3=0  ① 由,得,即4n-9r-5=0  ② 联立①②解得n=62,r=27. 所以在杨辉三角形的某一行能出现三个连续的数,使它们的比是3:4:5.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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