Question

把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图所示的数表：
设（i、j∈N^*）是位于这个数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，数表中第i行共有2^i-1个正整数．
（1）若a_ij=2013，求i、j的值；
（2）记A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N^*），试比较A_n与n²+n的大小，并说明理由．

Answer

（1）根据图形结构判断前n行共有多少项，从而判断2013在第几行，第几个数，求得i、j即可；
（2）先求出An，利用归纳，猜想、证明的方法比较An与n2+n的大小．
【解析】
（1）数表中前n行共有1+2+22+23+…+2n-1=2n-1个数，
第i行第一个数是2i-1，
∴aij=2i-1+j-1，
∵210＜2013＜211，
∴i=11，j=2013-210+1=990．
（2）∵An=a11+a22+a33+…+ann=（1+2+22+…+2n-1）+[0+1+2+3+…+（n-1）]=2n-1+，
∴An-（n2+n）=2n-，
当n=1时，，则An＜n2+n；
当n=2时，，则An＜n2+n；
当n=3时，，则An＜n2+n；
当n=4时，2n＞，则An＜n2+n；
猜想：当n≥4时，2n＞．
用数学归纳法证明如下：
①当n=4时，24=16＞，成立；
②假设当n=k（k≥4）时，成立，
当n=k+1时，2k+1=2×2k＞k23k+2，
∵k23k+2-==＞0，（k≥4）
∴2k+1＞，即n=k+1时，成立．
由①②知，n≥4时，2n，即An＞n2+n．
综上，当n=1、2、3时，An＜n2+n；
当n≥4时，An＞n2+n．