Question

定义F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞），
（I）令函数，写出函数f（x）的定义域；
（II）令函数的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x（-4＜x＜-1）处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围
（III）当x，y∈N*且x＜y时，求证F（x，y）＞F（y，x）．

Answer

（I）依据F（x，y）的定义，令，即可求得f（x）的定义域；
（II）利用题中的定义确定出g（x）的解析式，求出g（x）的导函数，把x=x代入导函数求出的导函数值即为-8，列出一个关系式，记作①，把-4＜x＜-1记作②，
由log2（x3+ax2+bx+1）＞0，把x=x代入得到一个不等式，记作③，由①②③即可得到a的取值范围．
（III）令h（x），求出h（x）的导函数，由分母大于0，令分子等于p（x），求出p（x）的导函数，根据p（x）导函数的正负，判断p（x）的增减性，进而得到p（x）小于0，且得到h（x）导函数的正负，得到h（x）的增减性，利用函数的增减性即可得证；
【解析】
（I），即2x-x2+4＞1得函数f（x）的定义域是（-1，3），
（II）g（x）=F（1，log2（x2+ax2+bx+1））=x3+ax2+bx+1，
设曲线C2在x（-4＜x＜-1）处有斜率为-8的切线，
又由题设log2（x3+ax2+bx+1）＞0，g'（x）=3x2+2ax+b，
∴存在实数b使得有解，
由①得，代入③得，
∴有解，
得，因为-4＜x＜-1，所以，
当a＜10时，存在实数b，使得曲线C在x（-4＜x＜-1）处有斜率为-8的切线．
（III）令，
又令，∴，
∴p（x）在[0，+∞）单调递减．∴当x＞0时有p（x）＜p（0）=0，∴当x≥1时有h'（x）＜0，∴h（x）在[1，+∞）单调递减，
∴，∴yln（1+x）＞xln（1+y），
∴（1+x）y＞（1+y）x
∴当x，y∈N*且x＜y时，F（x，y）＞F（y，x）．