Question

（1）如图，已知α、β是坐标平面内的任意两个角，且0≤α-β≤π，证明两角差的余弦公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）已知，且，，求2cos2α+cos²α的值．

Answer

（1）设P1、P2分别为α、β终边与单位圆的交点，表示出P1、P2坐标，利用平面向量的数量积运算法则根据两点坐标表示出•，再由•的夹角为α-β，两向量模为1，利用平面向量数量积运算法则表示出•，即可得证；
（2）由β的范围求出sinβ大于0，根据cosβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinβ的值，由α与β的范围求出α+β的范围，根据sin（α+β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，由cosα=cos[（α+β）-β]，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算求出cosα的值，所求式子第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，去括号合并将cosα的值代入计算即可求出值．
（1）证明：设P1、P2分别为α、β终边与单位圆的交点，
∴P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），
∴•=cosαcosβ+sinαsinβ，
又∵•的夹角为α-β，
∴•=|OP1|•|OP2|cos（α-β）=cos（α-β），
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）∵β∈（，π），cosβ=-，
∴sinβ==，
∵α∈（0，），∴α+β∈（，），
∵sin（α+β）=，
∴cos（α+β）=-=-，
∴cosα=cos[（α+β）-β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=，
则2cos2α+cos2α=2（2-cos2α1）+cos2α=5cos2α-2=．