Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一个根为S_n-1，n=1，2，3，…．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设方程x²-a_nx-a_n=0的另一个根为x_n，数列的前n项和为T_n，求2²⁰¹³（2-T₂₀₁₃）的值；
（3）是否存在不同的正整数p，q，使得S₁，S_p，S_q成等比数列，若存在，求出满足条件的p，q，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由Sn-1是方程x2-anx-an=0的根，代入可得sn与an的递推关系，令n=1可求a1，n≥2，利用an=Sn-Sn-1，化简得SnSn-1-2Sn+1=0，构造即可证明
（2）由（1）可求，带入方程可求an，进而可求xn，代入利用错位相减可求Tn，进而可求
（3）由（1）可求Sn，假设存在不同的正整数p，q使得S1，Sp，Sq成等比数列，结合等比数列的性质代入可求满足条件的p，q
【解析】
（1）证明∵Sn-1是方程x2-anx-an=0的根，n=1，2，3，…
∴
当n=1时，a1=S1，
∴，
解得，
∴…（2分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1，
∴
化简得SnSn-1-2Sn+1=0，
∴，
∴，
∴，又…（5分）
∴数列是以-2为首项，-1为公差的等差数列          …（6分）
（2）由（1）得，
∴，带入方程得，，∴，
∴原方程为，
∴，
∴…（8分）
∴
①②
①-②得
==…（11分），
∴22013（2-T2013）=2015…（12分）
（3）由（1）可得Sn=
假设存在不同的正整数p，q使得S1，Sp，Sq成等比数列
则
即
∵（14分）
∴
化简可得，p2-2p-1＜0
∴
∵p∈N*且p＞1
∴p=2
∴
∴q=8
∴存在不同的正整数p=2，q=8使得S1，Sp，Sq成等比数列（16分）