Question

以F₁（-2，0），F₂（2，0）为焦点的椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点M（，），斜率为1的直线l与E相交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）
（1）求E的方程；
（2）求l的方程．

Answer

（1）根据椭圆焦点坐标，可知c=2，利用椭圆的定义可求出a的值，再根据b2=a2-c2求出b的值，即可求出椭圆E的方程；
（2）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程．
【解析】
（1）由已知得，c=2，
又2a=MF1+MF2=4
解得a=2 ，又b2=a2-c2=4，
所以椭圆E的方程为 ．
（2）设直线l的方程为y=x+m，
由 得4x2+6mx+3m2-12=0．①
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x，y），
则x==-，
y=x+m=，
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k==-1，
解得m=2．
故l的方程为：y=x+2．