Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁C₁的中点，
（1）求证：BC₁∥平面AB₁E；
（2）求二面角E-AB₁-B的余弦值．

Answer

（1）设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明BC1∥平面AB1E．
（2）由平面AB1E的法向量=（1，-1，1），平面AB1B的法向量=（1，0，0），利用向量法能求出二面角E-AB1-B的余弦值．
【解析】
（1）设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，
以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵E是A1C1的中点，
∴A（2，0，0），B（2，2，0），E（1，1，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），
∴=（-2，0，2），=（0，2，2），=（-1，1，2），，
设平面AB1E的法向量，则，，
∴，解得=（1，-1，1），
∵=-2+0+2=0，∴，
∵BC1⊄平面AB1E，∴BC1∥平面AB1E．
（2）由（1）知平面AB1E的法向量=（1，-1，1），
∵平面AB1B的法向量=（1，0，0），
∴二面角E-AB1-B的余弦值为：
cos＜＞==．