Question

已知椭圆E：-=1（a＞b＞0）的一个焦点为（1，0），且E的离心率e=．
（1）求E的方程；
（2）过圆O：x²+y²=上任意一点P引O的切线l与E相交于A、B两点，求证：∠AOB为定值．

Answer

（1）由椭圆E：-=1（a＞b＞0）的一个焦点为（1，0），离心率e=，知由此能求出E的方程．
（2）设过圆O：x2+y2=上任意一点P的切线l的方程为y=kx+m，由点到直线的距离公式求得m=，不妨取l方程为：y=kx+，联立，得（4k2+3）x+8kx+-=0，利用韦达定理推导出，由此得到∠AOB=为定值．
【解析】
（1）∵椭圆E：-=1（a＞b＞0）的一个焦点为（1，0），离心率e=，
∴，∴a=2，c=1，b2=4-1=3．
∴E的方程为．
（2）设过圆O：x2+y2=上任意一点P的切线l的方程为y=kx+m，
则，解得m=，
不妨取m=，则l的方程为：y=kx+，
联立，
消去y，整理得（4k2+3）x+8kx+-=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，x1x2=，
∴y1y2=（kx1+）（kx2+）
=k2x1x2+k+
=-+
=．
∴=x1x2+y1y2=+=0．
∴，
∴∠AOB=为定值．