Question

已知双曲线H：-=1（a＞0，b＞0）一个顶点为（2，0），且H的离心率e=．
（1）求H的方程；
（2）过原点的直线l与H相交于A、B两点（点A在第一象限），过A作AC垂直于x轴，垂足为C．连接BC与H交于点D，记直线AB，AD的斜率分别为k₁、k₂．求证：k₁+k₂．

Answer

（1）由顶点为（2，0），可得a=2；由双曲线的离心率计算公式=，即可得到c，再利用b2=c2-a2即可得到b，进而得到方程．
（2）设A（m，n），由题意可知A、B两点关于原点对称，可得B（-m，-n），C（m，0），得到BC的方程为．由A在双曲线上，可得，即m2=4（n2+1）．
把BC的方程代入双曲线方程，整理可得（3n2+4）y2+（4n3+4n）y+n4=0，利用根与系数的关系即可得到yD，从而得到xD，即可得到直线AD的斜率k2，利用放缩法即可证明结论．
（1）【解析】
由题意，a=2
∵H的离心率e=，∴，∴b=1
∴H的方程为；
（2）证明：设A（m，n），由题意可知A、B两点关于原点对称，
∴B（-m，-n），C（m，0），∴BC的方程为．（*）
∵A在双曲线上，∴，∴m2=4（n2+1）．
把BC的方程代入双曲线方程，整理可得（3n2+4）y2+（4n3+4n）y+n4=0，
∴，而yB=-n，
∴，代入（*）可得．∴D．
∴=．
∴k1+k2====．证毕