Question

在R上定义运算⊕：x⊗y=x（1-y）若对任意x＞2，不等式（x-a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，7]
B．（-∞，3]
C．（-∞，7]
D．（-∞，-1]∪[7，+∞）

Answer

由x⊗y=x（1-y），把（x-a）⊗x≤a+2转化为（x-a）（1-x）≤a+2，由任意x＞2，不等式（x-a）⊗x≤a+2都成立，知a≤．令f（x）=，x＞2，则a≤[f（x）]min，x＜2．由此能求出结果．
【解析】
∵x⊗y=x（1-y），
∴（x-a）⊗x≤a+2转化为（x-a）（1-x）≤a+2，
∴-x2+x+ax-a≤a+2，
a（x-2）≤x2-x+2，
∵任意x＞2，不等式（x-a）⊗x≤a+2都成立，
∴a≤．
令f（x）=，x＞2，
则a≤[f（x）]min，x＜2
而f（x）==
=（x-2）++3
≥2+3=7，
当且仅当x=4时，取最小值．
∴a≤7．
故选C．