Question

若函数f（x）对任意的实数x₁，x₂∈D，均有|f（x₂）-f（x₁）|≤|x₂-x₁|，则称函数f（x）是区间D上的“平缓函数”，
（1）判断g（x）=sinx和h（x）=x²-x是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；
（2）若数列{x_n}对所有的正整数n都有 ，设y_n=sinx_n，求证：．

Answer

（1）新定义函数类型的题目，解答时要先充分理解定义：“平缓函数”才能答题，对于（1）只需按照定义作差：|f（x1）-f（x2）|，然后寻求|f（x2）-f（x1）|≤|x2-x1|成立的条件．
（2）的解答稍微复杂一些，此处除了用到放缩外，还有添项减项的技巧应用及对数列拆项求和的充分利用．
【解析】
（1）g（x）=sinx是R上的“平缓函数，但h（x）=x2-x不是区间R的“平缓函数”；
设φ（x）=x-sinx，则φ'（x）=1-cosx≥0，则φ（x）=x-sinx是实数集R上的增函数，
不妨设x1＜x2，则φ（x1）＜φ（x2），即x1-sinx1＜x2-sinx2，
则sinx2-sinx1＜x2-x1，①
又y=x+sinx也是R上的增函数，则x1+sinx1＜x2+sinx2，
即sinx2-sinx1＞x1-x2，②
由  ①、②得-（x2-x1）＜sinx2-sinx1＜x2-x1
因此|sinx2-sinx1|＜|x2-x1|，对x1＜x2的实数都成立，
当x1＞x2时，同理有|sinx2-sinx1|＜|x2-x1|成立
又当x1=x2时，不等式|sinx2-sinx1|=|x2-x1|=0，
故 对任意的实数x1，x2∈R均 有|sinx2-sinx1|≤|x2-x1|
因此 sinx是R上的“平缓函数．
由于|h（x1）-h（x2）|=|（x1-x2）（x1+x2-1）|
取x1=3，x2=1，则|h（x1）-h（x2）|=4＞|x1-x2|，
因此，h（x）=x2-x不是区间R的“平缓函数”．
（2）由（1）得：sinx是R上的“平缓函数，则|sinx2-sinx1|≤|x2-x1|，所以|yn+1-yn|≤|xn+1-xn|，
而，
所以 
而|yn+1-y1|=|（yn+1-yn）+（yn-yn-1）+（yn-1-yn-2）+…（y2-y1）|
所以|yn+1-y1|≤|yn+1-yn|+|yn-1-yn-2|+…+|y2-y1|，
则 
因此 ．