Question

如图，多面体ABCDS中面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=a（a＞0），AB=2AD，SD=AD，E为CD四等分点（紧靠D点）．
（I）求证：AE与⊥平面SBD
（II）求二面角A-SB-D的余弦值．

Answer

（I）直接根据条件得到SD⊥平面ABCD，推出SD⊥AE；在结合△ADE∽△ABD得到AE⊥BD即可证明结论；
（II）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出两个半平面的法向量，再代入向量的夹角计算公式即可．
【解析】
（I）∵SD⊥AD，SD⊥AB
∴SD⊥平面ABCD
∴SD⊥AE                               …（2分）
又△ADE∽△ABD，
∴AE⊥BD
∴AE⊥平面SBD                             …（5分）
（II）如图建立空间直角坐标系
S（a，0，0），A（0，a，0），B（0，a，2A），C（0，0，2a），D（0，0，0）．
∴=（a，0，0），=（0，a，2a）
设面SBD的一个法向量为=（x，y，z）
∴⇔⇒=（0，2，-1）…（9分）
又∵=（0，0，2a），=（-a，a，0）
设面SAB的一个法向量为=（x，y，z）．
∴⇔⇒=（1，，0）．
∴cos＜，＞====，
所以所求的二面角的余弦为…（14分）