Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），则实数c的值为    ．

Answer

根据二次函数的值域为[0，+∞），可得△=0，解之得b=a2．由此将关于x的不等式f（x）＜c化简得x2+ax+a2-c＜0，再由根与系数的关系解方程x1-x2|=8，即可得到实数c=16．
【解析】
∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴函数的最小值为0，可得△=a2-4b=0，即b=a2
又∵关于x的不等式f（x）＜c可化成x2+ax+b-c＜0，即x2+ax+a2-c＜0，
∴不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），也就是
方程x2+ax+a2-c的两根分别为x1=m，x2=m+8，
∴，可得|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1x2=64，
即（-a）2-4（a2-c）=64，解之即可得到c=16
故答案为：16