Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c．
（Ⅰ）用余弦定理证明：当∠C为钝角时，a²+b²＜c²；
（Ⅱ）当钝角△ABC的三边a，b，c是三个连续整数时，求△ABC外接圆的半径．

Answer

（I）∠C为钝角时⇒cosC＜0，然后根据余弦定理得出c2=a2+b2-2ab•cosC＞a2+b2，即可证明结论．
（II）先设△ABC的三边分别为n-1，n，n+1，从而得出n-1）2+n2＜（n+1）2，求出n，当n=2时，不能构成三角形，舍去，当n=3时，求出△ABC三边长，利用余弦定理求出cosC，再由正弦定理求出外接圆半径．
【解析】
（Ⅰ）当∠C为钝角时，cosC＜0，（2分）
由余弦定理得：c2=a2+b2-2ab•cosC＞a2+b2，（5分）
即：a2+b2＜c2．（6分）
（Ⅱ）设△ABC的三边分别为n-1，n，n+1（n≥2，n∈Z），
∵△ABC是钝角三角形，不妨设∠C为钝角，
由（Ⅰ）得（n-1）2+n2＜（n+1）2⇒n2-4n＜0⇒0＜n＜4，（9分）
∵n≥2，n∈Z，∴n=2，n=3，
当n=2时，不能构成三角形，舍去，
当n=3时，△ABC三边长分别为2，3，4，（11分）
，（13分）
△ABC外接圆的半径．（14分）