Question

若数列{a_n}是首项为6-12t，公差为6的等差数列；数列{b_n}的前n项和为S_n=3ⁿ-t．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}是等比数列，试证明：对于任意的n（n∈N，n≥1），均存在正整数C_n，使得b_n+1=a，并求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）设数列{d_n}满足d_n=a_n•b_n，且{d_n}中不存在这样的项d_t，使得“d_k＜d_k-1与d_k＜d_k+1”同时成立（其中k≥2，k∈N^*），试求实数t的取值范围．

Answer

（1）根据等差数列的通项公式，可得an=6n-12t；再由数列前n项和与第n项的关系，即可算出{bn}的通项公式；
（2）由{bn}是等比数列，结合（1）的通项公式可得bn=2•3n-1，算出出t=1从而得到an=6n-12t．通过变形整理，得到bn+1=6（3n-1+2）-12，从而得到存在cn=3n-1+2∈N*，使=bn+1成立，由等比数列求和公式即可算出{cn}的前n项和Tn；
（3）根据（1）的结论，得，由此进行作差，得dn+1-dn=8[n-（2t-）]•3n（n≥2）．因此，分t＜、2和m（m∈N且m≥3）三种情况加以讨论，分别根据数列{dn}的单调性解关于t的不等式，最后综合即可得到实数t的取值范围．
【解析】
（1）∵{an}是首项为6-12t，公差为6的等差数列，
∴an=（6-12t）+（n-1）×6=6n-12t…（2分）
而数列{bn}的前n项和为Sn=3n-t，所以
当n≥2时，bn=（3n-1）-（3n-1-1）=2•3n-1，
又∵b1=S1=3-t，
∴ …（4分）
（2）∵数列{bn}是等比数列，∴b1=3-t=2•31-1=2，解之得t=1，
因此，bn=2•3n-1，且an=6n-12 …（5分）
对任意的n（n∈N，n≥1），由于bn+1=2•3n=6•3n-1=6（3n-1+2）-12，
令cn=3n-1+2∈N*，则=6（3n-1+2）-12=bn+1，所以命题成立 …（7分）
数列数列{cn}的前n项和为：Tn=2n+=•3n+2n- …（9分）
（3）根据（1）的结论，得，
由于当n≥2时，dn+1-dn=4（n+1-2t）•3n+1-4（n-2t）•3n=8[n-（2t-）]•3n，
因此，可得
①若2t-＜2，即t＜时，则dn+1-dn＞0，可得dn+1＞dn，
∴当n≥2时，{dn}是递增数列，结合题意得d1＜d2，
即6（3-t）（1-2t）≤36（2-2t），解之得≤t≤，…（13分）
②若2，即，则当n≥3时，{dn}是递增数列，
∴结合题意得d2=d3，4（2t-2）×32=4（2t-3）×33，解之得t=（14分）
③若m（m∈N且m≥3），即+≤t≤+（m∈N且m≥3），
则当2≤n≤m时，{dn}是递减数列，当n≥m+1时，{dn}是递增数列，
结合题意，得dm=dm+1，即4（2t-m）×3m=4（2t-m-1）×3m+1，解之得t=…（15分）
综上所述，t的取值范围是≤t≤或t=（m∈N且m≥2）…（16分）