Question

某工厂去年某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为（k＞0，k为常数，n∈Z且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f（n）万元．
（1）求k的值，并求出f（n）的表达式；
（2）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？

Answer

（1）根据每只产品的固定成本为8元及关系式为，可求k的值，利用第n次投入后的年利润为f（n）万元，可建立函数关系式；
（2）先由（1）可得利润函数，再用基本不等式求最高利润．
【解析】
（1）由，当n=0时，由题意，可得k=8，
所以f（n）=（100+10n）．
（2）由-80．
当且仅当=，即n=8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元