Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若（e^t+2）x²+e^tx+e^t-2≥0对满足|x|≤1的任意实数x恒成立，求实数t的取值范围（这里e是自然对数的底数）；
（Ⅲ）求证：对任意正数a、b、λ、μ，恒有．

Answer

（Ⅰ）对函数求导，利用导数可判断函数的单独区间，进而可求函数的极大值，极小值．
（Ⅱ）原不等式可化为由（Ⅰ）知，|x|≤1时，f（x）的最大值为．则可得的最大值为，由恒成立的意义知道，从而可求t．
（Ⅲ）设，对g（x）求导可判断g（x）在（0，+∞）上是减函数，而作差可证明．由g（x）的单调性可证．
【解析】
（Ⅰ）
∴f（x）的增区间为，f（x）减区间为和．
极大值为，极小值为．…4分
（Ⅱ）原不等式可化为由（Ⅰ）知，|x|≤1时，f（x）的最大值为．
∴的最大值为，由恒成立的意义知道，从而…8分
（Ⅲ）设
则．
∴当x＞0时，g'（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上是减函数，
又当a、b、λ、μ是正实数时，
∴．
由g（x）的单调性有：，
即．…12分