Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC．AB=AC=l，∠BAC=120°，异面直线B₁C与A₁C₁所成的角为60°．
（I）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积：
（II）求二面角B₁-AC-B的余弦值．

Answer

（I）设AA1=a，以A为原点，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系．分别得出A、B、C、A1、B1、C1、的坐标，从而得到=（-，，-a），=（0，1，0），因为B1C与A1C1所成的角为60°，利用空间两个向量夹角公式列出关于a的方程，解出a=，由此不难得到三棱柱ABC-A1B1C1的体积；
（II）利用数量积为零的方法列方程组，从而解出平面ACB1的一个法向量=（-2，0，1）．而=（0，0，1）为面ACB的一个法向量，计算出向量、的夹角余弦值，即可得到二面角B1-AC-B的余弦值为．
【解析】
（Ⅰ）如图，以A为原点，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系．
设AA1=a（a＞0），依题意得
B1（，-，a），A（0，0，0），C（0，1，0）．
∴=（-，，-a），==（0，1，0），
由异面直线B1C与A1C1所成的角为60°，得
|cos＜，＞|===，
解之得a=．…（4分）
所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积为：
V=S△ABC•AA1=AB•ACsin120°•AA1=×1×1××=．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（-，，-）．
设=（x，y，z）为面ACB1的一个法向量，则•=0，•=0，
可得：
取z=1，得x=-2，于是=（-2，0，1）．…（9分）
又∵=（0，0，1）为面ACB的一个法向量，
∴cos＜，＞==，即为平面ACB与平面ACB1所成角的余弦值．
因此，二面角B1-AC-B的余弦值为．…（12分）