Question

（理）如图，已知矩形ACEF的边CE与正方形ABCD所在平面垂直，，
AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证：CM∥平面BDF；
（2）求二面角A-DB-F的大小．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，证明CM与平面BDF的法向量垂直，即可证得结论；
（2）由（1）知平面BDF的一个法向量为，平面ABD的一个法向量为，从而可求向量与向量的夹角，即可求得所求二面角A-DB-F的大小．
（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则…（2分）
设平面DBF的一个法向量为，则，
∴
取，
得平面DBF的一个法向量为，…（6分）
因为，
所以，
又因为直线CM⊄平面DBF内，所以CM∥平面BDF．…（6分）
（2）【解析】
由（1）知平面BDF的一个法向量为，
而平面ABD的一个法向量为，，…（11分）
所以向量与向量的夹角，
从图中可以看出二面角A-DB-F为锐二面角，所以所求二面角A-DB-F的大小是．   …（12分）