Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E为PD上一点，PE=2ED．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D-AC-E的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

Answer

（I）根据勾股定理的逆定理，得到△PAD是以PD为斜边的直角三角形，从而有PA⊥AD，再结合PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，可得PA⊥平面ABCD；
（II）过E作EG∥PA 交AD于G，连接BD交AC于O，过G作GH∥OD，交AC于H，连接EH．利用三垂线定理结合正方形ABCD的对角线互相垂直，可证出∠EHG为二面角D-AC-E的平面角．分别在△PAB中和△AOD中，求出EH=，GH=，在Rt△EHG中利用三角函数的定义，得到tan∠EHG==．最后由同角三角函数的关系，计算得cos∠EHG=．
（III）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．分别给出点A、B、C、P、E的坐标，从而得出=（1，1，0），=（0，， ），利用向量数量积为零的方法，列方程组可算出平面AEC的一个法向量为=（-1，1，-2 ）．假设侧棱PC上存在一点F，使得BF∥平面AEC，则=+=（-λ，1-λ，λ），且有⋅=0．所以⋅=λ+1-λ-2λ=0，解之得λ=，所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．
【解析】
（Ⅰ）∵PA=AD=1，PD=，
∴PA2+AD2=PD2，可得△PAD是以PD为斜边的直角三角形
∴PA⊥AD---（2分）
又∵PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，
∴PA⊥平面ABCD-------（4分）
（Ⅱ）过E作EG∥PA 交AD于G，
∵EG∥PA，PA⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
∵△PAB中，PE=2ED
∴AG=2GD，EG=PA=，------（5分）
连接BD交AC于O，过G作GH∥OD，交AC于H，连接EH．
∵OD⊥AC，GH∥OD
∴GH⊥AC
∵EG⊥平面ABCD，HG是斜线EH在平面ABCD内的射影，
∴EH⊥AC，可得∠EHG为二面角D-AC-E的平面角．-----（6分）
∴Rt△EGH中，HG=OD=BD=，可得tan∠EHG==．
由同角三角函数的关系，得cos∠EHG==．
∴二面角D-AC-E的平面角的余弦值为-------（8分）
（Ⅲ）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E（0，，），
=（1，1，0），=（0，， ）---（9分）
设平面AEC的法向量=（x，y，z），根据数量积为零，可得
，即：，令y=1，得=（-1，1，-2 ）-------------（10分）
假设侧棱PC上存在一点F，且=λ，（0≤λ≤1），使得：BF∥平面AEC，则⋅=0．
又∵=+=（0，1，0）+（-λ，-λ，λ）=（-λ，1-λ，λ），
∴⋅=λ+1-λ-2λ=0，∴λ=，
所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．----------------（13分）