根据正方体中举出反例,结合线面平行、面面平行的判定与性质,可得A、B两项都不正确;根据面面垂直的性质,由α⊥β且a⊥α可得a∥β或a⊂β,结合A项的讨论可得C项也不正确;根据面面平行的性质结合a⊥α且α∥β可得a⊥β,再由线面垂直的性质结合b⊥β,可得a∥b,因此得到D项正确.
【解析】
对于A,设a、b是正方体上底面内的两条直线,
而α是正方体下底面所在的平面,则有a∥α且b∥α,
但直线a、b可能是相交直线,不一定有a∥b.因此,A项不正确;
对于B,设α、β分别为正方体上、下底面所在的平面,
直线a⊂β、b⊂α,则有a∥α、b∥β且α∥β,
因为分别位于正方体上、下底面的直线b、a可能是异面直线
因此不一定有a∥b成立,故B项不正确;
对于C,因为α⊥β且a⊥α,所以a∥β或a⊂β
根据A的讨论,可得无论是a∥β,还是a⊂β,
都不能由b∥β推出a∥b,故C项不正确;
对于D,因为a⊥α且α∥β,所以a⊥β
再由b⊥β且a⊥β,可得a∥b成立,故D项正确
故选:D