Question

设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-2S_n；数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n（n=1，2，3…），T_n为数列{c_n}的前n项和．求T_n．

Answer

（1）由已知条件bn=2-2Sn；当n=1时先求出，再利用bn-bn-1=-2（Sn-Sn-1）=-2bn得到{bn}是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求出通项．
（2）求出，是一个等差数列与一个等比数列的乘积，所以利用错位相减的方法求出和．
【解析】
（1）由bn=2-2Sn，令n=1，则b1=2-2S1，又S1=b1
所以…（2分）
当n≥2时，由bn=2-2Sn，可得bn-bn-1=-2（Sn-Sn-1）=-2bn
即…（4分）
所以{bn}是以为首项，为公比的等比数列，
于是…（6分）
（2）数列{an}为等差数列，公差，可得an=3n-1…（7分）
从而
∴，∴…（11分）．…（12分）