Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+n，数列{b_n}满足b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-1b_n=a_n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）通过数列{an}的前n项和为Sn=n2+n，求出首项，an=Sn-Sn-1，求数列{an}的通项公式，通过错位相减法求解{bn}的通项公式；
（2）通过数列{bn}的通项公式，判断数列是等比数列，直接求数列{bn}的前n项和Tn．
解（1）n=1，a1=2，
n≥2，an=Sn-Sn-1=2n
∴an=2n （n∈N*）                    …（4分）
b1+3b2+32b3+…+3n-1bn=an，n∈N*．
b1+3b2+32b3+…+3n-2bn-1=an-1，n≥2．
两式作差：3n-1bn=an-an-1=2
∴  n≥2，
又∵b1=2
∴  n∈N*．         …（10分）
（2）数列{bn}是首项为2，公比为的等比数列，
所以Tn==3-   …（13分）