Question

已知函数f（x）=（2x²-4ax）lnx+x²（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）对∀x∈[1，+∞），不等式（2x-4a）lnx＞-x恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，注意对a进行讨论；
（2）对∀x∈[1，+∞），不等式（2x-4a）lnx＞-x恒成立，可得（2x2-4ax）lnx+x2＞0，即f（x）＞0恒成立，转化为f（x）min＞0，借助（1）问结论可求．
【解析】
（1）f′（x）=
=4x-4a+lnx（4x-4a）=4（x-a）（lnx+1），（x＞0）．
①若0＜a＜，当x∈（0，a），x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（a，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）的单调递增区间是（0，a），（，+∞）；单调递减区间是（a，）．
②若a=，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
③若a＞，当x∈（0，），x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）的单调递增区间是（0，），（a，+∞）；单调递减区间是（，a）．
（2）因为x≥1，所以由（2x-4a）lnx＞-x，得
（2x2-4ax）lnx+x2＞0，即函数f（x）＞0对x≥1恒成立，
由（Ⅰ）可知，当0＜a≤时，f（x）在，[1，+∞）上单调递增，则f（x）min=f（1）＞0，成立，故0＜a≤．
当＜a≤1，则f（x）在[1，+∞）上单调递增，f（x）min=f（1）=1＞0恒成立，符合要求．
当a＞1时，f（x）在（1，a）上单调递减，（a，+∞）上单调递增，则
f（x）min=f（a）＞0，即（2a2-4a2）lna+a2＞0，1＜a＜．
综上所述，0＜a＜．