Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D中，AB=3，BC=AA₁=4，E，F分别为AB、BB₁的中点．
（1）求三棱锥A₁-AB₁D₁的体积；
（2）求异面直线EF与BC₁所成角的余弦值．

Answer

（1）三棱锥A1-AB1D1中，由==6，AA1⊥平面A1B1D1，且AA1=4，能求出三棱锥A1-AB1D1的体积．
（2）由E，F分别为AB、BB1的中点，知EF∥DC1，从而得到∠BC1D异面直线EF与BC1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线EF与BC1所成角的余弦值．
【解析】
（1）三棱锥A1-AB1D1中，
∵==6，
AA1⊥平面A1B1D1，且AA1=4，
∴三棱锥A1-AB1D1的体积
V===8．
（2）∵E，F分别为AB、BB1的中点，
∴EF∥DC1，
∴∠BC1D异面直线EF与BC1所成角（或所成角的补角），
连接BD，∵长方体ABCD-A1B1C1D中，AB=3，BC=AA1=4，
∴，DC1=5，BD=5，
∴cos∠BC1D==．
故异面直线EF与BC1所成角的余弦值为．