Question

已知a＞0，且a≠1，数列{a_n}的前n项和为S_n，它满足条件．数列{b_n}中，b_n=a_n•lga_n．
（1）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）若对一切n∈N^*都有b_n＜b_n+1，求a的取值范围．

Answer

（1）由题意知，a1=a，转化为：，，①-②，得 ，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由bn=an•lgan，知bn=nanlga，当对一切n∈N+，都有bn＜bn-1，即有nanlga＜（n+1）an-1lga，由此进行分类讨论，能够得到a的取值范围．
【解析】
（1）由题意知，当n=1时，a1=a，
当n≥2时，，，
①-②，得 ，
∴数列{an}是等比数列，
∴an=an（n∈N+）．
（2）∵bn=an•lgan，
∴bn=nanlga，
当对一切n∈N+，都有bn＜bn-1，
即有nanlga＜（n+1）an-1lga，
当lga＞0，即a＞1时，a＞对一切n∈N+都成立，∴a＞1．
当lga＜0，即0时，有 对一切n∈N+都成立，∴．
综上所述a＞1或 ．