Question

如图，在三棱柱ABC=A₁B₁C₁中，AC=3，CC₁⊥平面ABC，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱锥C₁-CDB₁的体积．

Answer

（1）利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC．利用线面垂直的性质定理可得CC1⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）利用直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理即可得出ED∥AC1，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；
（3）取BC的中点M，连接DM，利用三角形的中位线定理可得，再利用线面垂直的性质定理可得DM⊥平面BCC1B1．利用三棱锥的体积计算公式即可得出．
（1）证明：∵底面三边长AC=3，BC=4，AB=5．
∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC．
∵CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC．
∴AC⊥CC1．
又BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1，
BC1⊂平面BCC1B1，
∴AC⊥BC1．
（2）证明：设CB1∩BC1=E，连接ED．
由正方形BCC1B1可得E为BC1的中点，又D为AB的中点，∴AC1∥ED．
∵ED⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．
（3）【解析】
取BC的中点M，连接DM，则，
∵AC⊥平面BCC1B1，∴DM⊥平面BCC1B1．
∴===4．