Question

已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．
（Ⅰ）若椭圆的焦距为，且两条准线间的距离为，求椭圆的方程；
（Ⅱ）在（I）的条件下，椭圆上有一点M，满足MF₁⊥MF₂，求△MF₁F₂的面积；
（Ⅲ）过焦点F₂作椭圆长轴的垂线与椭圆交于第一象限点P，连接PO并延长交椭圆于点Q，连接QF₂并延长交椭圆于点H，若PH⊥PQ，求椭圆的离心率．

Answer

（Ⅰ）由椭圆的焦距可求c，再由两条准线间的距离为可求a，利用条件b2=a2-c2求出b2，则椭圆的方程可求；
（Ⅱ）因为点M在椭圆上，利用椭圆定义得到MF1+MF2=4，由MF1⊥MF2得到两式联立得到MF1•MF2=2，则△MF1F2的面积可求；
（Ⅲ）首先求出P点坐标，利用对称性求出Q点坐标，写出直线QF2的方程后和椭圆联立求出H的坐标，然后利用PH和PQ所在直线的斜率之积等于-1得到a，b的关系式，则离心率可求．
【解析】
（Ⅰ）由题意可知，∴，
由，得a2==4，
∴b2=a2-c2=4-3=1．
即椭圆的方程为；
（Ⅱ）由椭圆定义得MF1+MF2=4 ①
因为MF1⊥MF2，所以 ②
将①2-②：得MF1•MF2=2
故△MF1F2的面积=1；      
（Ⅲ）把x=c代入椭圆，得，
所以点P的坐标为，则，F2（c，0），
直线QF2方程为，即，
与椭圆联立得H点坐标为，
由PH⊥PQ得，kPQ•kPH=-1，即，
化简得a2=2b2，
即 a2=2（a2-c2），即 ，又0＜e＜1，所以．