Question

已知函数f（x）=e^x-ax+b，其中a，b∈R（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线3x+y-2=0平行，当函数f（x）有两个不同的零点时，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若a=1，b=0，在函数f（x）的图象上取两定点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），记直线AB的斜率为k．问：是否存在x∈（x₁，x₂），使f'（x）＞k成立？若存在，求x的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）先求出函数f（x）的导函数f′（x），再对a进行分类讨论，分别求出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即求出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由导数的几何意义先求出a的值，由（1）知求出单调区间，进而求出函数的最小值4-4ln4+b，根据函数的单调性和条件得：4-4ln4+b＜0，进而求出b的范围；
（Ⅲ）先假设存在，再根据斜率公式求出k，构造函数，观察得此函数的导函数以及区间（x1，x2），无法判断其单调性，故直接表示出h（x1）和h（x2）并化简，根据结构特点再构造函数F（t）=et-t-1，再导数进而判断出单调性，再根据t的范围判断出h（x1）＜0，h（x2）＞0，再得c∈（x1，x2）使h（c）=0，求出c=，再由h′（x）=ex＞0，得有f'（x）＞k．
【解析】
（Ⅰ）由题意得f′（x）=ex-a…（1分）
当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；…（2分）
当a＞0时，由f′（x）=ex-a=0，得x=lna，
则 x∈（-∞，lna），f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
   x∈（lna，+∞），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；…（4分）
（Ⅱ）由f'（0）=e-a=-3，得a=4…（6分）
由（1）知函数f（x）=ex-4x+b在（-∞，ln4）上单调递减；（ln4，+∞）单调递增，
函数f（x）=ex-4x+b在x=ln4处取极小值（即为最小值）4-4ln4+b…（8分）
且当x→-∞或x→+∞时，f（x）→+∞，
∴4-4ln4+b＜0，解得b＜4ln4-4，
故使函数f（x）有两个零点的b的取值范围b＜4ln4-4…（10分）
（Ⅲ）假设存在存在x∈（x1，x2）满足条件，
由题意知，，
令，
则 ，，
令F（t）=et-t-1，则F'（t）=et-1．
当t＜0时，F'（t）＜0，F（t）单调递减；当t＞0时，F'（t）＞0，F（t）单调递增，
故当t=0，F（t）＞F（0）=0，即et-t-1＞0，
从而，，
又∵，
∴h（x1）＜0，h（x2）＞0．…（12分）
∴存在c∈（x1，x2）使h（c）=0
∵h′（x）=ex＞0，h（x）是单调递增，
故这样的c是唯一的，且…（14分）
故当且仅当时，f'（x）＞k．
综上所述，存在x∈（x1，x2）使f'（x）＞k成立．
且x的取值范围为．