Question

数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=2a_n-3n，（n∈N^*）．
（1）证明：{a_n+3}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=，求数列{b_n}的前n项和H_n．

Answer

（1）利用当n≥2时，Sn-Sn-1=an，可得得an=2an-1+3，从而可构造等比数列求解an+3，进而可求an，
（2）由（1）可得，bn=（2n-1）•（2n-1），然后利用错位相减法求解数列的和
证明：（1）当n≥2时由Sn=2an-3n得Sn-1=2an-1-3（n-1），
两式相减得Sn-Sn-1=an=（2an-3n）-[2an-1-3（n-1）]，
整理得an=2an-1+3     …（2分）
∴==2                          …（4分）
由S1=2a1-3得a1=3，
∴a1+3=6
∴{an+3}是以6为首项、2为公比的等比数列           …（5分）
∴an+3=6.2n-1，
∴an=3.2n-3                       …（6分）
（2）【解析】
∵bn=（2n-1）•（2n-1）
设Tn=1.21+3.22+5.23+…+（2n-3）2n-1+（2n-1）2n                 ①
2Tn=1.22+3.23+…+（2n-3）2n+（2n-1）2n+1     ②
由①-②得：-Tn=2+23+24+…+2n+1-（2n-1）2n+1，…（7分）
=2+-（2n-1）.2n+1       …（9分）
化简得 Tn=（2n-3）.2n+1+6．                       …（11分）
∴Hn=Tn-[1+3+…+（2n-1）]=（2n-3）.2n+1+6-n2        …（14分）