Question

已知关于x的方程：x²-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有实数根b．
（1）求实数a，b的值．
（2）若复数z满足|-a-bi|-2|z|=0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值．

Answer

（1）复数方程有实根，方程化简为a+bi=0（a、b∈R），利用复数相等，即解方程组即可．
（2）先把a、b代入方程，同时设复数z=x+yi，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示圆，
再数形结合，求出z，得到|z|．
【解析】
（1）∵b是方程x2-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的实根，
∴（b2-6b+9）+（a-b）i=0，
∴解之得a=b=3．
（2）设z=x+yi（x，y∈R），由|-3-3i|=2|z|，
得（x-3）2+（y+3）2=4（x2+y2），
即（x+1）2+（y-1）2=8，
∴z点的轨迹是以O1（-1，1）为圆心，2为半径的圆，如图所示，
如图，

当z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值，
∵|OO1|=，
半径r=2，
∴当z=1-i时．
|z|有最小值且|z|min=．