Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx在x=1处的切线方程为6x-2y-1=0，f′（x）为f（x）的导函数，g（x）=a•e^x（a，b，c∈R）．
（1）求b，c的值；
（2）若存在x∈（0，2]，使g（x）=f′（x）成立，求a的范围．

Answer

（1）由f′（x）=3x2+2bx+c，知f（x）在x=1处的切线方程为y=（3+2b+c）x-2-b，故，由此能求出f（x）．
（2）若存在x∈（0，2]使成立，即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，故，令，则=-，由此能求出a的取值范围．
【解析】
（1）∵f′（x）=3x2+2bx+c，
∴f（x）在x=1处的切线方程为y-（1+b+c）=（3+2b+c）（x-1），
即y=（3+2b+c）x-2-b，
∴，即，
∴．
（2）若存在x∈（0，2]使成立，
即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，
∴a•ex=3x2-3x+3，
∴，
令，
∴
=
=-，
令h′（x）=0，得x1=1，x2=2，列表讨论：

 x  （0，1）  1  （1，2）  2
 h′（x） -  0 +  0
 h（x） ↓  极小值 ↑  极大值

∴h（x）有极小值h（1）=，h（x）有极大值h（2）=，
且当x→0时，h（x）→3＞，
∴a的取值范围是．