Question

已知展开式的各项依次记为a₁（x），a₂（x），a₃（x），…，a_n（x），a_n+1（x），其中
设F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+3a₃（x）+…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）
（1）若a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系数依次成等差数列，求n的值；
（2）求证：对任意x₁，x₂∈[0，2]，恒有．

Answer

（1）利用二项展开式的通项公式，求出前三项的系数，据a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，列出方程，即可求出n的值．
（2）先利用到序相加法求出F（2）-F（0）的值，利用导数判断出函数的单调性，即可得证．
（1）【解析】
∵
∴a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次为=1，=，=
∵a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，
∴
∴n=8；
（2）证明：∵F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x）+…+nan（x）+（n+1）an+1（x）=+2+…+
∴F（2）=+2+…+
设Sn=+2+…+，倒序可得Sn=+…+2+
考虑到Cnk=Cnn-k，将以上两式相加得：2Sn=（n+2）（Cn+Cn1+Cn2…+Cnn-1+Cnn）
所以Sn=（n+2）2n-1
所以F（2）-F（0）=（n+2）2n-1-1
又当x∈[0，2]时，F'（x）≥0恒成立，从而F（x）是[0，2]上的单调递增函数，
所以对任意x1，x2∈[0，2]，|F（x1）-F（x2）|≤F（2）-F（0）═（n+2）2n-1-1＜（n+2）2n-1．