Question

如图，斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，侧面AA₁C₁C是菱形，，E、F分别是A₁C₁、AB的中点．求证：（1）EF∥平面BB₁C₁C；（2）平面CEF⊥平面ABC．

Answer

（1）取BC中点M，连接FM，C1M，证明FM，推出四边形EFMC1为平行四边形，然后证明EF∥平面BB1C1C；
（2）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足，证明OCA1E，得到ECA1O1，证明A1O⊥底面ABC．得到平面CEF⊥平面ABC．
证明：（1）取BC中点M，连接FM，C1M，
在△ABC中，因为F，M分别为BA、BC的中点，
所以FM，
因为E为A1C1的中点，AC，
所以EF∥EC1，又FM∥A1C1从而四边形EFMC1为平行四边形，
所以EF∥C1M，又因为C1M⊂平面BB1C1C，EF⊄平面BB1C1C，
EF∥平面BB1C1C；
（2）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足，
因为∠A1AC=60°，所以AO=AA1=AC，
从而O为AC的中点．
所以OCA1E，因而ECA1O1，
因为侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，
A1O⊥AC，所以A1O⊥底面ABC．
所以EC⊥底面ABC，
又因为EC⊂平面EFC，
所以平面CEF⊥平面ABC．