Question

已知函数f（x）=-x³+x²+b，g（x）=alnx．
（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．

Answer

（1）求导函数，令f′（x）=0，确定函数的单调性与极值，从而可得函数的最大值，由此可求b的值；
（2）由g（x）≥-x2+（a+2）x，得恒成立，即，求出最小值，即可求得a的取值范围；
（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），且t≠1，则是否存在P，Q等价于方程-t2+F（t）（t3+t2）=0在t＞0且t≠1时是否有解．
【解析】
（1）由f（x）=-x3+x2+b，得f′（x）=-3x2+2x=-x（3x-2），
令f′（x）=0，得x=0或．
列表如下：

x
f′（x） - + -
f（x） ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘

∵，，
∴，
即最大值为，∴b=0．…（4分）
（2）由g（x）≥-x2+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x2-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，
∴lnx＜x，即x-lnx＞0，
∴恒成立，即．
令，求导得，，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+1-2lnx＞0，从而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上为增函数，∴tmin（x）=t（1）=-1，∴a≤-1．…（8分）
（3）由条件，，
假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，
不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），且t≠1．
∵△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴，
∴-t2+F（t）（t3+t2）=0…（*），…（10分）
是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．
①若0＜t＜1时，方程（*）为-t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4-t2+1=0，此方程无解；  …（11分）
②若t＞1时，（*）方程为-t2+alnt•（t3+t2）=0，即，
设h（t）=（t+1）lnt（t＞1），则，
显然，当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解．
∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）