Question

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱AB的中点，点P在平面A₁B₁C₁D₁，D₁P⊥平面PCE．
试求：
（1）线段D₁P的长；
（2）直线DE与平面PCE所成角的正弦值．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，利用D1P⊥平面PCE，确定P的坐标，从而可求线段D1P的长；
（2）由（1）知，平面平面PCE，利用向量的夹角公式可求直线DE与平面PEC所成角的正弦值为．
【解析】
（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则D1（0，0，2），E（2，1，0），C（0，2，0）．

设P（x，y，2），则，，
因为D1P⊥平面PCE，所以D1P⊥EP，D1P⊥EC，
所以，解得（舍去）或 …（4分）
即P（），所以，所以．…（6分）
（2）由（1）知，平面平面PCE，
设DE与平面PEC所成角为θ，与所成角为α，则
所以直线DE与平面PEC所成角的正弦值为． …（10分）