Question

已知数列{a_n}中，（λ是与n无关的实数常数），且满足a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n＜a_n+1＜…，则实数λ的取值范围是    ．

Answer

由已知，数列{an}为单调递增数列，得出an+1-an＞0对于任意n∈N*都成立，即有2n+1+λ＞0，采用分离参数法求实数λ的取值范围即可．
【解析】
∵an=n2+λn①，
∴an+1=（n+1）2+λ（n+1）②
②-①得an+1-an=2n+1+λ．
由已知，数列{an}为单调递增数列，
则an+1-an＞0对于任意n∈N*都成立，即 2n+1+λ＞0．
移向得λ＞-（2n+1），λ只需大于-（2n+1）的最大值即可，
易知当n=1时，-（2n+1）的最大值 为-3，
所以λ＞-3．
故答案为：λ＞-3．