Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点F为A₁D的中点．
（1）求证：A₁B∥平面AFC；
（2）求证：平面A₁B₁CD⊥平面AFC．

Answer

（1）连接BD交AC于点O，连接FO，要证A1B∥平面AFC，只需证明直线A1B平行平面AFC内的直线FO即可；
（2）要证平面A1B1CD⊥平面AFC，只需证明平面A1B1CD内的直线B1D垂直平面AFC即可．
证明：（1）连接BD交AC于点O，连接FO，
则点O是BD的中点．
∵点F为A1D的中点，∴A1B∥FO．
又A1B∉平面AFC，FO⊂平面AFC，
∴A1B∥平面AFC．

（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
连接B1D．∵AC⊥BD，AC⊥BB1，
∴AC⊥平面B1BD，AC⊥B1D．
又∵CD⊥平面A1ADD1，AF⊂平面A1ADD1，
∴CD⊥AF．又∵AF⊥A1D，
∴AF⊥平面A1B1CD．
∵AC⊥B1D，∴B1D⊥平面AFC．
而B1D⊂平面A1B1CD，
∴平面A1B1CD⊥平面AFC．