Question

设数列{b_n}满足：，b_n+1=b_n²+b_n，
（1）求证：；
（2）若T_n=++…+，对任意的正整数n，3T_n-log₂m-5＞0恒成立．求m的取值范围．

Answer

（1））要证明，只要能证bn+1=bn（bn+1），而 由已知：bn+1=bn2+bn，推导即可
 （2）由（1）可求得 ，结合数列的特点考虑利用裂项求和，从而可得数列{bn}是单调递增数列，最后将恒成立问题转化为最值问题求解即可
【解析】
（1）∵，bn+1=bn2+bn=bn（bn+1），
∴对任意正整数n＞0，有即：．…（4分）
（2）Tn=（）+（）+…+（）==2-．…（7分）
∵b n+1-bn=bn2＞0，∴bn+1＞bn，∴数列{bn}是单调递增数列．
∴数列{Tn}关于n递增．∴Tn≥T1．…（10分）
∵，∴
∴…（12分）
∴
∵3Tn-log2m-5＞0恒成立，∴log2m＜3Tn-5恒成立，
∴log2m＜-3…（14分）
∴．…（16分）