Question

设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；
（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）-g（x）＜对任意x＞0成立．

Answer

（I）求导，并判断导数的符号确定函数的单调区间和极值、最值，即可求得结果；
（Ⅱ）通过函数的导数，利用函数的单调性，半径两个函数的大小关系即可．
（Ⅲ）利用（Ⅰ）的结论，转化不等式，求解即可．
【解析】
（Ⅰ）由题设知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，
∴g'（x）=，令g′（x）=0得x=1，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的单调减区间．
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的单调递增区间，
因此，x=1是g（x）的唯一值点，且为极小值点，
从而是最小值点，所以最小值为g（1）=1．
（II）
设，则h'（x）=-，
当x=1时，h（1）=0，即，
当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（1）=0，
因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，
当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，即，
当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，即．
（III）由（I）知g（x）的最小值为1，
所以，g（a）-g（x）＜，对任意x＞0，成立⇔g（a）-1＜，
即Ina＜1，从而得0＜a＜e．