Question

已知函数f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）若k=2，求函数y=f（x）的零点；
（2）．

Answer

（1）当k=2时，方程是含有绝对值的方程，对绝对值内的值进行分类讨论去掉绝对值后解之．
（2）先将含有绝对值的函数转化为一元一次函数和二元一次函数的分段函数的形式，再利用一元一次函数与二元
一次函数的单调性加以解决．
【解析】
（1）若k=2，则函数y=f（x）=|x2-1|+x2 +2x，①当x2-1≥0时，即x≥1或x≤-1时，方程化为2x2+2x-1=0，
解得x=，因为0＜＜1，故舍去，所以x=．
②当x2-1＜0时，-1＜x＜1时，方程化为2x+1=0，解得x=-．
由①②得当k=2时，方程f（x）=0的解所以x=，或x=-．
（II）【解析】
不妨设0＜x1＜x2＜2，因为f（x）=，
所以f（x）在（0，1]是单调函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解．
若 1＜x1＜x2＜2，则x1x2=-＜0，故不符题意，因此0＜x1≤1＜x2＜2．
由f（x1）=0得k=-，所以k≤-1． 由f（x2）=0得，k=-2x2，所以，-＜k＜-1，
故当-＜k＜-1时，方程f（x）=0在（0，2）上有两个解，故所求的k的范围是（-，-1）．
由于当0＜x1≤1＜x2＜2时，k=-，2x22+kx2-1=0，
消去k得，2x1x22-x1-x2=0，∴x1+x2=2x1x22，∴+==2x2．
∵1＜x2＜2，∴2＜2x2＜4，∴2＜+＜4，故+ 的取值范围是（2，4）．
综上可得，k的范围是（-，-1），+ 的取值范围是（2，4）．