Question

已知数列{a_n}中，点P（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x+2图象上，数列{b_n}前n项和为S_n，且a₁=2，b_n，S_n成等差数列．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）．问是否存在最小的正整数m，使对任意 n∈N^*都有T_n＜m．若存在，求出m的值，否则，说明理由．

Answer

（1）由P（an，an+1）在函数f（x）=x+2图象上，得到数列{an}是等差数列，直接由等差数列的通项公式求数列an；再利用2，bn，Sn成等差数列得到数列{bn}的递推式，首先求出b1，由递推式可以判定数列{bn}是等比数列，由等比数列的通项公式写出bn；
（2）把数列{an}，{bn}的通项公式代入，然后利用错位相减法求出数列{cn}的前n项和
由此可以得到存在最小的正整数4，使对任意 n∈N*都有Tn＜4．
【解析】
（1）∵点（an，an+1）在f（x）=x+2的图象上，
∴an+1=an+2，
∴an+1-an=2，
∴{an}是以2为公差的等差数列，
又a1=2，
则an=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．
由2，bn，Sn成等差数列，
所以Sn+2=2bn  ①
当n=1时，b1+2=2b1，所以b1=2．
当n≥2时，Sn-1+2=2bn-1②
①-②得：bn=2bn-2bn-1．
所以bn=2bn-1（n≥2）．
因为b1=2≠0，所以（n≥2）．
故数列{bn}是以2为首项，以2为公比的等比数列．
所以；
（2）由．
所以{cn}的前n项和
Tn=c1+c2+…+cn=③
④
③-④得：
=．
所以＜4．
所以存在最小的正整数m=4，使对任意 n∈N*都有Tn＜4．