Question

已知方程（x²-mx-8）（x²-nx-8）=0的四个根组成一个首项为1的等比数列，则mn=    ．

Answer

根据一元二次方程根与系数的关系和等比数列性质分析，四个根组成的首项为 1的等比数列的首项与末项的积等于第二项与第三项的积等于-8，从而确定数列的每一项，再由两根之和分别为m、n，即可求出结果．
【解析】
∵方程（x2-mx-8）（x2-nx-8）=0⇔x2-mx-8=0 ①或x2-nx-8=0 ②
设方程①两根为x1，x4，方程②两根为x2，x3，则，x1x4=-8，x1+x4=m  x2x3=-8，x2+x3=n
∵方程（x2-mx-8）（x2-nx-8）=0的四个根组成一个首项为 1的等比数列
∴x1，x2，x3，x4分别为这个数列的前四项，且x1=1，x4=-8，公比为-2，
∴x2=-2，x3=4，
∴m=x1+x4=1-8=-7，n=x2+x3=-2+4=2，
故则mn=-14．
故答案为：-14．