Question

已知：f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意a、b∈R，满足：f=af（b）+bf（a），且，则数列{a_n}的通项公式a_n=    ．

Answer

令a=2-n，b=2，得f（2-n+1）=2-nf（2）+2f（2-n），设An=f（2-n），可得An-1=2-n-1+2An，从而可知数列{ }是以-1为，-1为首项的等差数列，故可求数列{An}的通项公式，从而得出数列{an}的通项公式．
【解析】
令a=1，b=1，得f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0，
令a=2，b=，得f（1）=2f（）+f（2），且f（2）=2，∴f（）=-，
令a=2-n，b=2，得f（2-n+1）=2-nf（2）+2f（2-n）
设An=f（2-n）
∴An-1=2-n-1+2An，
∴=1+，即 -=-1，且 ==-1
即数列{ }是以-1为，-1为首项的等差数列
∴=-n，
∴An=-n•2-n
∴．
故答案为：．