Question

已知数列{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，并且满足a₁+a₂=5，a₅+a₆=29，以及b₇=a₂₂
（1）求a₂₂的值；
（2）设b₈=64m（m≠0），求数列{b_n}的子数列b₇，b₈，b₉，b₁₀，b₁₁，…的前n项和S_n．
（3）在（2）的条件下，若m=2，求数列的前n项和T_n．

Answer

（1）设等差数列{an}的公差为d，依题意，列出关于其首项与公差的方程组，解之即可得an，从而可求a22的值；
（2）依题意可求得{bn}的公比q=m（m≠0），对m分类讨论，可得数列{bn}的子数列b7，b8，b9，b10，b11，…的前n项和Sn．
（3）可求得bn=2n-1，从而可得Tn=1+2×21+3×22+…+n×2n-1，利用错位相减法即可求得Tn．
【解析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，则，解得d=3，a1=1，…3分
∴an=1+（n-1）×3=3n-2，
∴a22=64…5分
（2）∵{bn}为等比数列，b7=a22=64，b8=64m（m≠0），
∴{bn}的公比q==m（m≠0），
∴Sn=…10分
（3）∵m=2，b7=64=b1•26，
∴b1=1，故bn=2n-1．
∴Tn=[（a1+2）b1+（a2+2）b2+…+（an+2）bn]
=（3×1+6×21+…+3n×2n-1）
=1+2×21+3×22+…+n×2n-1①…12分
2Tn=1×21+2×22+…+（n-1）×2n-1+n×2n②
①-②得：-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n
=-n×2n
=（1-n）×2n-1，…14分
∴Tn=1+（n-1）×2n…15分