Question

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b²+c²-a²+bc=0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=，求bc的最大值；
（3）求的值．

Answer

（1）根据题中等式，结合余弦定理算出cosA=，而A∈（0，π），可得A=．
（2）由a=代入已知等式得b2+c2=3-bc，再用基本不等式即可得到当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1．
（3）根据正弦定理，将化简为．再由sinB=sin（A+C）和A=，将分子、分母展开化简，然后将分子分母约去公因式，即可得到的值．
【解析】
（1）∵△ABC中，b2+c2=a2-bc
∴根据余弦定理，得cosA==-（2分）
∵A∈（0，π），∴A=．（4分）
（2）由a=，得b2+c2=3-bc，（6分）
又∵b2+c2≥2bc（当且仅当c=b时取等号），（8分）
∴3-bc≥2bc，可得当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1．（10分）
（3）由正弦定理，得
=2R，
∴（11分）
==（13分）
∵sin（60°-C）-sinC=cosC-sinC-sinC=cosC-sinC
∴==．（15分）