Question

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．
（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积；
（3）若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．

Answer

（1）如图，由题设令AN=x米，然后用x表示出边长，由题意得出，从中求出x的范围，即为AN的取值范围．
（2）矩形的面积可以表示为，化简后用基本不等式求出最小值．
（3）由（2）的求解知，当AN的长度不少于6米时，基本不等式取到最小值时等号成立的条件不足备，故不宜用基本不等式求矩形AMPN的面积最小值，可以用函数的单调性求面积的最小值．
【解析】
（1）设AN=x米，（x＞2），则ND=x-2
∵
∴
∴（2分）
∴
∴3x2-32x+64＞0（4分）
∴（3x-8）（x-8）＞0
∴2＜x＜或x＞8（5分）
（2）（7分）
=

此时x=4（10分）
（3）∵（x≥6）
令x-2=t（t≥4），（11分）
∵
当t≥4时，f'（t）＞0
∴在[4，+∞）上递增（13分）
∴f（t）min=f（4）=27
此时x=6．（14分）
答：（1）或AN＞8
（2）当AN的长度是4米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为24平方米；
（3）当AN的长度是6米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为27平方米．（15分）