Question

在平面直角坐标系中，设△ABC的顶点分别为A（0，2），B（-1，0），C（2，0），圆M是△ABC的外接圆，直线l的方程是（2+m）x+（2m-1）y-3m-1=0（m∈R）
（1）求圆M的方程；
（2）证明：直线l与圆M相交；
（3）若直线l被圆M截得的弦长为3，求l的方程．

Answer

（1）求出边AC、BC的垂直平分线方程，根据圆心M在这2条边的垂直平分线上，可得M（，），再求出半径MC的值，即可得到圆的标准方程．
（2）根据直线l经过定点N，而点N在圆的内部，即可得到直线和圆相交．
（3）由于直线截圆所得的弦长等于直径，可得直线过圆心，把圆心的坐标代入直线方程，求得m的值，即可得到直线的方程．
【解析】
（1）∵△ABC的顶点分别为A（0，2），B（-1，0），C（2，0），故线段BC的垂直平分线方程为x=，
线段AC的垂直平分线为 y=x，再由圆心M在这2条边的垂直平分线上，可得M（，），
故圆的半径为|MC|==，故圆的方程为 +=．
（2）根据直线l的方程是（2+m）x+（2m-1）y-3m-1=0（m∈R），即m（x+2y-3）+2x-y-1=0，
由 可得，故直线经过定点N（1，1）．
由于MN==＜r=，故点N在圆的内部，故圆和直线相交．
（3）∵直线l被圆M截得的弦长为3，等于直径，故直线l经过圆心M，把点M的坐标代入直线l，
可得 （2+m）×+（2m-1）-3m-1=0，解得 m=-，
故直线l的方程为 x-y=0，即 x-y=0．