Question

在△ABC中，已知a，b，c是角A、B、C的对应边，则
①若a＞b，则f（x）=（sinA-sinB）•x在R上是增函数；
②若a²-b²=（acosB+bcosA）²，则△ABC是Rt△；
③cosC+sinC的最小值为；
④若cos2A=cos2B，则A=B；
⑤若（1+tanA）（1+tanB）=2，则，
其中错误命题的序号是    ．

Answer

①由正弦定理，可知命题正确；②由余弦定理可得acosB+bcosA==c，可得a2=b2+c2；③由三角函数的公式可得，由的范围可得∈（1，]；④由cos2A=cos2B，可得A=B或2A=2π-2B，A=π-B，A+B=π（舍）；⑤展开变形可得，即tan（A+B）=1，进而可得
【解析】
①由正弦定理，a＞b等价于sinA＞sinB，∴sinA-sinB＞0，∴f（x）=（sinA-sinB）x在R上是增函数，故正确；
②由余弦定理可得acosB+bcosA==c，故可得a2-b2=c2，即a2=b2+c2，故△ABC是Rt△，故正确；
③由三角函数的公式可得，∵0＜c＜π，∴＜c＜，∴∈（-，1]，
∴∈（-1，]，故取不到最小值为，故错误；
④由cos2A=cos2B，可得A=B或2A=2π-2B，A=π-B，A+B=π（舍），∴A=B，故正确；
⑤展开可得1+tanA+tanB+tanA•tanB=2，1-tanA•tanB=tanA+tanB，
∴，即tan（A+B）=1，∴，故错误；
∴错误命题是③⑤．
故答案为③⑤