Question

数列{a_n}中，a_n+1是函数的极小值点，且a₁=3，a_n＞0．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）记S_n为数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与2ⁿ的大小关系．

Answer

（1）利用函数的极值概念得到，从而得到递推关系式（an+1-1）（an+1-an-2）=0即an+1=an+2，从而可求{an}的通项公式；
（2），当n=1，2，3，4，5时，n2+2n＞2n，猜想n≥6时，n2+2n＜2n，然后运用数学归纳法证明．
【解析】
（1）由题意得：．…（1分）
∴（an+1-1）（an+1-an-2）=0，
∴an+1=an+2，
∵a1=3，∴an=2n+1．…（3分）
（2）b，当n=1，2，3，4，5时，n2+2n＞2n…（1分）
猜想n≥6时，n2+2n＜2n…（1分）
下用数学归纳法证明
①当n=6，左边=62+2×6=48＜右边=26=64，成立．
②假设当n=k（k≥6）时不等式成立，即k2+2k＜2k，…（1分）
那么2k+1=2•2k＞2（k2+2k）=k2+2k+k2+2k＞k2+2k+3+2k=（k+1）2+2（k+1），
即当n=k+1时，不等式也成立，…（2分）
由①、②可得：对于所有的n≥6（n∈N*）都有n2+2n＜2n成立．…（1分）